Ако сложите чаша горещ шоколад на 90 на масата в стаята, държана на 25, знаете ли, че ще изстине?

За да определим колко време ще отнеме на чаша горещ шоколад при 90°C да се охлади до стайна температура (25°C) върху маса в стая, поддържана при 25°C, трябва да разгледаме концепцията за пренос на топлина.

Когато горещият шоколад се постави на масата, ще се получи топлообмен между горещия шоколад и околната среда. Горещият шоколад ще загуби топлина към по-хладния въздух и повърхността на масата чрез проводимост, конвекция и радиация.

Скоростта на пренос на топлина зависи от няколко фактора, включително температурната разлика между горещия шоколад и околната среда, повърхността на чашата и топлинните свойства на използваните материали.

Ако приемем, че чашата е направена от материал като керамика, който има относително ниска топлопроводимост, и че стайната температура остава постоянна при 25°C, можем да използваме закона на Нютон за охлаждане, за да изчислим приблизително времето, което ще отнеме на горещия шоколад да изстине надолу.

Законът на Нютон за охлаждане гласи, че скоростта на охлаждане на обект е пропорционална на температурната разлика между обекта и околната среда. Математически може да се изрази като:

dT/dt =-k(T - T_env)

където:

dT/dt представлява скоростта на промяна на температурата спрямо времето

k е константата на охлаждане, която зависи от фактори като повърхностна площ, топлопроводимост и коефициенти на топлопреминаване

T е температурата на обекта (горещ шоколад)

T_env е температурата на околната среда (стайна температура)

За да решим това диференциално уравнение, можем да разделим променливите и да интегрираме:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

където C е константата на интегриране.

Използвайки първоначалното условие, че в момент t =0 температурата на горещия шоколад е 90°C, можем да определим стойността на C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Замествайки тази стойност на C обратно в уравнението, получаваме:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

За да намерим времето, необходимо на горещия шоколад да се охлади до 25°C, можем да заменим T =25 и да намерим t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (не е дефинирано)

Тъй като естественият логаритъм от 0 е недефиниран, това означава, че горещият шоколад никога няма да достигне точно 25°C. Въпреки това, той ще продължи да се охлажда и ще се приближава асимптотично до стайната температура. На практика, след като температурната разлика стане малка, скоростта на охлаждане също ще бъде много бавна и горещият шоколад в крайна сметка ще достигне температура, много близка до стайната.

В заключение, въпреки че не можем да определим точното време за охлаждане на горещия шоколад до 25°C, използвайки този опростен модел, можем да кажем, че той непрекъснато ще губи топлина и ще се доближава до стайната температура с течение на времето.