Když dáte šálek horké čokolády na 90 na stůl v místnosti 25, víte, že vychladne?

Abychom určili, jak dlouho bude trvat, než šálek horké čokolády o teplotě 90 °C vychladne na pokojovou teplotu (25 °C) na stole v místnosti udržované na 25 °C, musíme zvážit koncept přenosu tepla.

Když se horká čokoláda položí na stůl, dojde k přenosu tepla mezi horkou čokoládou a okolním prostředím. Horká čokoláda ztratí teplo do chladnějšího vzduchu a povrchu stolu vedením, prouděním a zářením.

Rychlost přenosu tepla závisí na několika faktorech, včetně teplotního rozdílu mezi horkou čokoládou a okolním prostředím, povrchové plochy šálku a tepelných vlastností použitých materiálů.

Za předpokladu, že je šálek vyroben z materiálu, jako je keramika, která má relativně nízkou tepelnou vodivost a že pokojová teplota zůstává konstantní na 25 °C, můžeme použít Newtonův zákon ochlazování k přiblížení času, který bude trvat, než horká čokoláda vychladne. dolů.

Newtonův zákon ochlazování říká, že rychlost ochlazování objektu je úměrná rozdílu teplot mezi objektem a okolním prostředím. Matematicky to lze vyjádřit takto:

dT/dt =-k(T - T_env)

kde:

dT/dt představuje rychlost změny teploty v závislosti na čase

k je konstanta chlazení, která závisí na faktorech, jako je plocha povrchu, tepelná vodivost a koeficienty přestupu tepla

T je teplota předmětu (horká čokoláda)

T_env je teplota okolního prostředí (pokojová teplota)

K vyřešení této diferenciální rovnice můžeme oddělit proměnné a integrovat:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

kde C je integrační konstanta.

Pomocí počáteční podmínky, že v čase t =0 je teplota horké čokolády 90°C, můžeme určit hodnotu C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Dosazením této hodnoty C zpět do rovnice dostaneme:

T – T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Abychom našli čas, za který horká čokoláda vychladne na 25 °C, můžeme dosadit T =25 a vyřešit t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (není definováno)

Protože přirozený logaritmus 0 není definován, znamená to, že horká čokoláda nikdy nedosáhne přesně 25 °C. Bude se však nadále ochlazovat a asymptoticky se přiblíží pokojové teplotě. V praxi, jakmile se teplotní rozdíl stane malým, rychlost chlazení bude také velmi pomalá a horká čokoláda nakonec dosáhne teploty velmi blízké pokojové teplotě.

Závěrem lze říci, že i když pomocí tohoto zjednodušeného modelu nemůžeme určit přesný čas, kdy horká čokoláda vychladne na 25 °C, můžeme říci, že bude neustále ztrácet teplo a časem se bude blížit pokojové teplotě.