Wenn Sie eine Tasse heiße Schokolade bei 90 °C auf den Tisch im Zimmer stellen, wissen Sie, dass sie abkühlt?

Um zu bestimmen, wie lange es dauert, bis eine Tasse heiße Schokolade bei 90 °C auf einem Tisch in einem Raum mit einer Temperatur von 25 °C auf Raumtemperatur (25 °C) abgekühlt ist, müssen wir das Konzept der Wärmeübertragung berücksichtigen.

Wenn die heiße Schokolade auf den Tisch gestellt wird, findet eine Wärmeübertragung zwischen der heißen Schokolade und der Umgebung statt. Die heiße Schokolade gibt durch Leitung, Konvektion und Strahlung Wärme an die kühlere Luft und die Tischoberfläche ab.

Die Geschwindigkeit der Wärmeübertragung hängt von mehreren Faktoren ab, darunter dem Temperaturunterschied zwischen der heißen Schokolade und der Umgebung, der Oberfläche der Tasse und den thermischen Eigenschaften der beteiligten Materialien.

Unter der Annahme, dass die Tasse aus einem Material wie Keramik besteht, das eine relativ geringe Wärmeleitfähigkeit hat, und dass die Raumtemperatur konstant bei 25 °C bleibt, können wir das Newtonsche Abkühlungsgesetz verwenden, um die Zeit zu schätzen, die die heiße Schokolade zum Abkühlen benötigt runter.

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass die Abkühlungsrate eines Objekts proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Objekt und der Umgebung ist. Mathematisch kann es ausgedrückt werden als:

dT/dt =-k(T - T_env)

Wo:

dT/dt gibt die Geschwindigkeit der Temperaturänderung im Zeitverlauf an

k ist die Abkühlungskonstante, die von Faktoren wie der Oberfläche, der Wärmeleitfähigkeit und dem Wärmeübergangskoeffizienten abhängt

T ist die Temperatur des Objekts (heiße Schokolade)

T_env ist die Temperatur der Umgebung (Raumtemperatur)

Um diese Differentialgleichung zu lösen, können wir Variablen trennen und integrieren:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

wobei C die Integrationskonstante ist.

Unter der Ausgangsbedingung, dass zum Zeitpunkt t =0 die Temperatur der heißen Schokolade 90 °C beträgt, können wir den Wert von C bestimmen:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 – T_env =90 – 25 =65

Wenn wir diesen Wert von C wieder in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Um die Zeit zu ermitteln, die die heiße Schokolade benötigt, um auf 25 °C abzukühlen, können wir T =25 einsetzen und nach t auflösen:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (nicht definiert)

Da der natürliche Logarithmus von 0 undefiniert ist, bedeutet dies, dass die heiße Schokolade nie genau 25 °C erreichen wird. Es kühlt jedoch weiter ab und nähert sich asymptotisch der Raumtemperatur. In der Praxis wird die Abkühlungsgeschwindigkeit, sobald der Temperaturunterschied gering wird, ebenfalls sehr langsam sein, und die heiße Schokolade wird schließlich eine Temperatur erreichen, die sehr nahe an der Raumtemperatur liegt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir mit diesem vereinfachten Modell zwar keinen genauen Zeitpunkt bestimmen können, zu dem die heiße Schokolade auf 25 °C abkühlt, wir aber sagen können, dass sie mit der Zeit kontinuierlich Wärme verliert und sich Raumtemperatur annähert.