Sechzig Prozent der Kunden einer Fast-Food-Kette bestellen Hamburger, Pommes Frites und Getränke. Wenn eine Zufallsstichprobe von 15 Kassenbons ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 10 oder mehr Kassenbons vorhanden sind?

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Hamburger, Pommes Frites und ein Getränk bestellt, beträgt 0,6. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, keinen Hamburger, keine Pommes Frites und kein Getränk zu bestellen, 1 – 0,6 =0,4.

Die Anzahl der Kunden, die in einer Zufallsstichprobe von 15 Kassenbelegen einen Hamburger, Pommes Frites und ein Getränk bestellen, ist eine binomiale Zufallsvariable mit den Parametern n =15 und p =0,6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 Kunden einen Hamburger, Pommes Frites und ein Getränk bestellen, beträgt:

$$P(X ≥ 10) =1 - P(X ≤ 9)$$

Die Zufallsvariable X folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern n =15 und p =0,6. Somit ist die kumulative Verteilungsfunktion für X gegeben durch:

$$P(X ≤ k) =\sum_{r=0}^k {15 \choose r} (0.6)^r (0.4)^{15-r}$$

Daher,

$$P(X ≤ 9) =\sum_{r=0}^9 {15 \choose r} (0.6)^r (0.4)^{15-r} =0.214$$

Und,

$$P(X ≥ 10) =1 - 0,214 =0,786$$

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 10 oder mehr der Kunden in der Zufallsstichprobe einen Hamburger, Pommes Frites und ein Getränk bestellen, 0,786.