Ha egy csésze forró csokoládét teszel le 90 fokon a 25 fokos szobában tartott asztalra, tudod, hogy kihűl?

Annak meghatározásához, hogy mennyi idő alatt hűl le egy csésze 90°C-os forró csokoládé szobahőmérsékletre (25°C) egy asztalon egy 25°C-os helyiségben, figyelembe kell vennünk a hőátadás fogalmát.

Amikor a forró csokit az asztalra helyezzük, hőátadás megy végbe a forró csokoládé és a környező környezet között. A forró csokoládé a vezetés, a konvekció és a sugárzás révén hőt veszít a hidegebb levegőnek és az asztal felületének.

A hőátadás sebessége több tényezőtől függ, többek között a forró csokoládé és a környezet hőmérséklet-különbségétől, a csésze felületétől és az érintett anyagok termikus tulajdonságaitól.

Feltételezve, hogy a csésze olyan anyagból készült, mint a kerámia, amelynek viszonylag alacsony a hővezető képessége, és a szobahőmérséklet állandó 25 °C-on marad, a Newton-féle lehűlési törvény segítségével közelíthetjük meg a forró csokoládé lehűléséhez szükséges időt. le.

Newton hűtési törvénye kimondja, hogy egy tárgy hűtési sebessége arányos a tárgy és a környező környezet hőmérséklet-különbségével. Matematikailag a következőképpen fejezhető ki:

dT/dt =-k(T - T_env)

ahol:

A dT/dt a hőmérséklet változásának sebességét jelenti az idő függvényében

k a hűtési állandó, amely olyan tényezőktől függ, mint a felület, a hővezető képesség és a hőátbocsátási együtthatók

T a tárgy hőmérséklete (forró csokoládé)

T_env a környező környezet hőmérséklete (szobahőmérséklet)

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldásához elválaszthatjuk a változókat és integrálhatjuk:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

ahol C az integrációs állandó.

Abból a kezdeti feltételből kiindulva, hogy t =0 időpontban a forró csokoládé hőmérséklete 90°C, meg tudjuk határozni a C értékét:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Ha ezt a C értéket visszahelyettesítjük az egyenletbe, a következőt kapjuk:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Annak megállapításához, hogy mennyi idő alatt hűl le a forró csokoládé 25°C-ra, helyettesíthetjük T =25-tel és megoldhatjuk t-t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (nincs definiálva)

Mivel a 0 természetes logaritmusa nem definiált, ez azt jelenti, hogy a forró csokoládé soha nem éri el pontosan a 25°C-ot. Azonban tovább hűl, és tünetmentesen közelíti a szobahőmérsékletet. A gyakorlatban, ha a hőmérséklet-különbség kicsi lesz, a lehűlés sebessége is nagyon lassú lesz, és a forró csokoládé végül eléri a szobahőmérséklethez nagyon közeli hőmérsékletet.

Összefoglalva, bár ezzel az egyszerűsített modellel nem tudjuk pontosan meghatározni a forró csokoládé 25°C-ra való lehűlésének idejét, elmondhatjuk, hogy folyamatosan veszít hőből, és idővel megközelíti a szobahőmérsékletet.