Ef þú setur bolla af heitu súkkulaði á 90 á borðið í herbergi sem haldið er 25 veistu að það mun kólna?

Til að ákvarða hversu langan tíma það tekur fyrir bolla af heitu súkkulaði við 90°C að kólna niður í stofuhita (25°C) á borði í herbergi sem haldið er við 25°C, þurfum við að íhuga hugmyndina um hitaflutning.

Þegar heita súkkulaðið er sett á borðið mun hitaflutningur eiga sér stað milli heita súkkulaðsins og umhverfisins í kring. Heita súkkulaðið mun missa varma til kaldara loftsins og borðyfirborðsins með leiðni, konvection og geislun.

Hraði hitaflutnings fer eftir nokkrum þáttum, þar á meðal hitamun á heita súkkulaðinu og umhverfinu, yfirborðsflatarmáli bollans og varmaeiginleikum efnanna sem taka þátt.

Að því gefnu að bikarinn sé gerður úr efni eins og keramik, sem hefur tiltölulega litla hitaleiðni, og að stofuhitinn haldist stöðugur við 25°C, getum við notað kælingarlögmál Newtons til að áætla þann tíma sem það mun taka fyrir heita súkkulaðið að kólna. niður.

Lögmál Newtons um kælingu segir að hraði kælingar hlutar sé í réttu hlutfalli við hitamun á hlutnum og umhverfinu í kring. Stærðfræðilega er hægt að tjá það sem:

dT/dt =-k(T - T_env)

hvar:

dT/dt táknar breytingu á hitastigi miðað við tíma

k er kælifasti, sem fer eftir þáttum eins og yfirborðsflatarmáli, hitaleiðni og varmaflutningsstuðlum

T er hitastig hlutarins (heitt súkkulaði)

T_env er hitastig umhverfisins í kring (stofuhita)

Til að leysa þessa diffurjöfnu getum við aðskilið breytur og samþætt:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

þar sem C er samþættingarfasti.

Með því að nota upphafsskilyrðið að á tímanum t =0, hitastigið á heita súkkulaðinu er 90°C, getum við ákvarðað gildi C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Með því að setja þetta gildi C aftur inn í jöfnuna fáum við:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Til að finna tímann sem það tekur heita súkkulaðið að kólna niður í 25°C getum við skipt út fyrir T =25 og leyst út fyrir t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ekki skilgreint)

Þar sem náttúrulegur logaritmi 0 er óskilgreindur þýðir það að heita súkkulaðið nær aldrei nákvæmlega 25°C. Hins vegar mun það halda áfram að kólna og nálgast stofuhita án einkenna. Í reynd, þegar hitamunurinn er orðinn lítill, mun hraði kælingarinnar einnig vera mjög hægur og heita súkkulaðið nær að lokum hitastigi mjög nálægt stofuhita.

Að lokum, þó að við getum ekki ákvarðað nákvæman tíma fyrir heita súkkulaðið til að kólna niður í 25°C með þessu einfaldaða líkani, getum við sagt að það muni stöðugt missa hita og nálgast stofuhita með tímanum.