Se metti una tazza di cioccolata calda a 90 sul tavolo nella stanza tenuta a 25, sai che si raffredderà?

Per determinare quanto tempo impiegherà una tazza di cioccolata calda a 90°C a raffreddarsi a temperatura ambiente (25°C) su un tavolo in una stanza mantenuta a 25°C, dobbiamo considerare il concetto di trasferimento di calore.

Quando la cioccolata calda viene posta sul tavolo, si verificherà un trasferimento di calore tra la cioccolata calda e l'ambiente circostante. La cioccolata calda cederà calore all'aria più fredda e alla superficie del tavolo attraverso conduzione, convezione e irraggiamento.

La velocità di trasferimento del calore dipende da diversi fattori, tra cui la differenza di temperatura tra la cioccolata calda e l'ambiente, la superficie della tazza e le proprietà termiche dei materiali coinvolti.

Supponendo che la tazza sia realizzata in un materiale come la ceramica, che ha una conduttività termica relativamente bassa, e che la temperatura ambiente rimanga costante a 25°C, possiamo utilizzare la legge del raffreddamento di Newton per approssimare il tempo necessario affinché la cioccolata calda si raffreddi giù.

La legge del raffreddamento di Newton afferma che la velocità di raffreddamento di un oggetto è proporzionale alla differenza di temperatura tra l'oggetto e l'ambiente circostante. Matematicamente può essere espresso come:

dT/dt =-k(T - T_env)

Dove:

dT/dt rappresenta la velocità di variazione della temperatura rispetto al tempo

k è la costante di raffreddamento, che dipende da fattori quali la superficie, la conduttività termica e i coefficienti di trasferimento del calore

T è la temperatura dell'oggetto (cioccolata calda)

T_env è la temperatura dell'ambiente circostante (temperatura ambiente)

Per risolvere questa equazione differenziale, possiamo separare le variabili e integrare:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

dove C è la costante di integrazione.

Utilizzando la condizione iniziale che al tempo t =0 la temperatura della cioccolata calda sia 90°C, possiamo determinare il valore di C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Sostituendo questo valore di C nell'equazione, otteniamo:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Per trovare il tempo necessario affinché la cioccolata calda si raffreddi fino a 25°C, possiamo sostituire T =25 e risolvere per t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (non definito)

Poiché il logaritmo naturale pari a 0 non è definito, significa che la cioccolata calda non raggiungerà mai esattamente i 25°C. Tuttavia, continuerà a raffreddarsi e ad avvicinarsi asintoticamente alla temperatura ambiente. In pratica, una volta che la differenza di temperatura diventa piccola, anche la velocità di raffreddamento sarà molto lenta e la cioccolata calda alla fine raggiungerà una temperatura molto vicina a quella ambiente.

In conclusione, anche se non possiamo determinare un tempo preciso in cui la cioccolata calda si raffredda fino a 25°C utilizzando questo modello semplificato, possiamo dire che perderà continuamente calore e si avvicinerà alla temperatura ambiente nel tempo.