Als je een kop warme chocolademelk van 90 op tafel zet in de kamer van 25, weet je dan dat het zal afkoelen?

Om te bepalen hoe lang het duurt voordat een kop warme chocolademelk van 90°C is afgekoeld tot kamertemperatuur (25°C) op een tafel in een kamer met een temperatuur van 25°C, moeten we rekening houden met het concept van warmteoverdracht.

Wanneer de warme chocolademelk op tafel wordt geplaatst, vindt er warmteoverdracht plaats tussen de warme chocolademelk en de omgeving. De warme chocolademelk verliest warmte aan de koelere lucht en het tafeloppervlak door geleiding, convectie en straling.

De snelheid van de warmteoverdracht is afhankelijk van verschillende factoren, waaronder het temperatuurverschil tussen de warme chocolademelk en de omgeving, het oppervlak van de beker en de thermische eigenschappen van de betrokken materialen.

Ervan uitgaande dat de beker is gemaakt van een materiaal zoals keramiek, dat een relatief lage thermische geleidbaarheid heeft, en dat de kamertemperatuur constant blijft op 25°C, kunnen we de afkoelingswet van Newton gebruiken om de tijd te schatten die nodig is voordat de warme chocolademelk is afgekoeld. omlaag.

De afkoelingswet van Newton stelt dat de snelheid waarmee een object afkoelt evenredig is aan het temperatuurverschil tussen het object en de omgeving. Wiskundig gezien kan het worden uitgedrukt als:

dT/dt =-k(T - T_env)

waar:

dT/dt vertegenwoordigt de snelheid waarmee de temperatuur verandert ten opzichte van de tijd

k is de koelconstante, die afhangt van factoren zoals het oppervlak, de thermische geleidbaarheid en de warmteoverdrachtscoëfficiënten

T is de temperatuur van het object (warme chocolademelk)

T_env is de temperatuur van de omgeving (kamertemperatuur)

Om deze differentiaalvergelijking op te lossen, kunnen we variabelen scheiden en integreren:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

waarbij C de integratieconstante is.

Gebruikmakend van de initiële voorwaarde dat op tijdstip t =0 de temperatuur van de warme chocolademelk 90°C is, kunnen we de waarde van C bepalen:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Als we deze waarde van C weer in de vergelijking vervangen, krijgen we:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Om de tijd te vinden die nodig is voordat de warme chocolademelk is afgekoeld tot 25°C, kunnen we T =25 vervangen en t oplossen:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (niet gedefinieerd)

Omdat de natuurlijke logaritme van 0 niet gedefinieerd is, betekent dit dat de warme chocolademelk nooit precies 25°C zal bereiken. Het zal echter blijven afkoelen en de kamertemperatuur asymptotisch benaderen. In de praktijk zal, zodra het temperatuurverschil klein wordt, de afkoelsnelheid ook erg langzaam zijn en zal de warme chocolademelk uiteindelijk een temperatuur bereiken die zeer dicht bij kamertemperatuur ligt.

Concluderend:hoewel we met dit vereenvoudigde model geen precies tijdstip kunnen bepalen waarop de warme chocolademelk moet afkoelen tot 25°C, kunnen we wel stellen dat de chocolade voortdurend warmte zal verliezen en in de loop van de tijd de kamertemperatuur zal benaderen.