Hvis du setter en kopp varm sjokolade på 90 på bordet i rommet holdt 25 vet det vil avkjøles?

For å finne ut hvor lang tid det vil ta før en kopp varm sjokolade ved 90°C avkjøles til romtemperatur (25°C) på et bord i et rom holdt på 25°C, må vi vurdere konseptet varmeoverføring.

Når den varme sjokoladen legges på bordet, vil varmeoverføring skje mellom den varme sjokoladen og omgivelsene rundt. Den varme sjokoladen vil miste varme til den kjøligere luften og bordoverflaten gjennom ledning, konveksjon og stråling.

Hastigheten på varmeoverføringen avhenger av flere faktorer, inkludert temperaturforskjellen mellom den varme sjokoladen og miljøet, overflaten på koppen og de termiske egenskapene til materialene som er involvert.

Forutsatt at koppen er laget av et materiale som keramikk, som har relativt lav varmeledningsevne, og at romtemperaturen forblir konstant på 25°C, kan vi bruke Newtons lov om avkjøling til å tilnærme tiden det vil ta for den varme sjokoladen å avkjøles ned.

Newtons lov om kjøling sier at kjølehastigheten til et objekt er proporsjonalt med temperaturforskjellen mellom objektet og omgivelsene. Matematisk kan det uttrykkes som:

dT/dt =-k(T - T_env)

hvor:

dT/dt representerer hastigheten for endring av temperaturen i forhold til tid

k er kjølekonstanten, som avhenger av faktorer som overflateareal, varmeledningsevne og varmeoverføringskoeffisienter

T er temperaturen på objektet (varm sjokolade)

T_env er temperaturen i omgivelsene (romtemperatur)

For å løse denne differensialligningen kan vi skille variabler og integrere:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

hvor C er integrasjonskonstanten.

Ved å bruke startbetingelsen at på tidspunktet t =0, er temperaturen på den varme sjokoladen 90°C, kan vi bestemme verdien av C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Ved å erstatte denne verdien av C tilbake i ligningen får vi:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

For å finne tiden det tar for den varme sjokoladen å kjøle seg ned til 25°C, kan vi erstatte T =25 og løse for t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ikke definert)

Siden den naturlige logaritmen til 0 er udefinert, betyr det at den varme sjokoladen aldri vil nå nøyaktig 25°C. Den vil imidlertid fortsette å kjøle seg ned og nærme seg romtemperatur asymptotisk. I praksis, når temperaturforskjellen blir liten, vil avkjølingshastigheten også være veldig langsom, og den varme sjokoladen vil til slutt nå en temperatur veldig nær romtemperatur.

Avslutningsvis, selv om vi ikke kan bestemme en nøyaktig tid for den varme sjokoladen for å kjøle seg ned til 25°C ved å bruke denne forenklede modellen, kan vi si at den kontinuerlig vil miste varme og nærme seg romtemperatur over tid.