Jeśli położysz filiżankę gorącej czekolady o temperaturze 90 stopni na stole w pokoju dla 25 osób, wiesz, że ostygnie?

Aby określić, ile czasu zajmie filiżance gorącej czekolady o temperaturze 90°C ostygnięcie do temperatury pokojowej (25°C) na stole w pomieszczeniu o temperaturze 25°C, musimy wziąć pod uwagę koncepcję wymiany ciepła.

Kiedy gorąca czekolada zostanie położona na stole, nastąpi wymiana ciepła pomiędzy gorącą czekoladą a otaczającym ją środowiskiem. Gorąca czekolada straci ciepło do chłodniejszego powietrza i powierzchni stołu w wyniku przewodzenia, konwekcji i promieniowania.

Szybkość wymiany ciepła zależy od kilku czynników, w tym różnicy temperatur między gorącą czekoladą a otoczeniem, powierzchni filiżanki i właściwości termicznych zastosowanych materiałów.

Zakładając, że filiżanka jest wykonana z materiału takiego jak ceramika, który ma stosunkowo niską przewodność cieplną, a temperatura w pomieszczeniu pozostaje stała i wynosi 25°C, możemy skorzystać z prawa chłodzenia Newtona, aby oszacować czas potrzebny do ochłodzenia gorącej czekolady w dół.

Prawo chłodzenia Newtona stwierdza, że ​​szybkość chłodzenia obiektu jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy obiektem a otaczającym środowiskiem. Matematycznie można to wyrazić jako:

dT/dt =-k(T - T_env)

Gdzie:

dT/dt reprezentuje szybkość zmian temperatury w funkcji czasu

k jest stałą chłodzenia, która zależy od czynników takich jak powierzchnia, przewodność cieplna i współczynniki przenikania ciepła

T to temperatura przedmiotu (gorąca czekolada)

T_env to temperatura otoczenia (temperatura pokojowa)

Aby rozwiązać to równanie różniczkowe, możemy oddzielić zmienne i zintegrować:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

gdzie C jest stałą całkowania.

Korzystając z warunku początkowego, że w chwili t =0 temperatura gorącej czekolady wynosi 90°C, możemy wyznaczyć wartość C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Podstawiając tę ​​wartość C z powrotem do równania, otrzymujemy:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Aby obliczyć czas potrzebny do ochłodzenia gorącej czekolady do 25°C, możemy podstawić T =25 i obliczyć t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (niezdefiniowany)

Ponieważ logarytm naturalny równy 0 jest nieokreślony, oznacza to, że gorąca czekolada nigdy nie osiągnie dokładnie 25°C. Będzie jednak nadal się ochładzać i asymptotycznie zbliżać się do temperatury pokojowej. W praktyce, gdy różnica temperatur staje się mała, tempo chłodzenia również będzie bardzo wolne, a gorąca czekolada ostatecznie osiągnie temperaturę bardzo bliską temperaturze pokojowej.

Podsumowując, chociaż za pomocą tego uproszczonego modelu nie możemy określić dokładnego czasu, w którym gorąca czekolada ostygnie do 25°C, możemy powiedzieć, że będzie ona stale tracić ciepło i z czasem osiągnie temperaturę pokojową.