När en kyckling tas ur ugnen temperatur mätt till 300ftre minuter senare 200fhur lång tid tar det för rummet att svalna av 70f?

- Initial temperatur för kycklingen:\(T_i =300^\circ F\)

- Slutlig rumstemperatur:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatur uppmätt tre minuter senare:\(T_1 =200^\circ F\)

Antaganden

– Kycklingen antas svalna enligt Newtons lag kylning, som säger att nedkylningshastigheten för ett föremål är direkt proportionell mot skillnaden i dess temperatur och omgivningstemperaturen.

Lösning för kylhastighetskonstant (k)

Med hjälp av givna data vid tre minuter kan vi beräkna kylhastighetskonstanten \(k\) med hjälp av ekvationen:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Där:

- \(T_1\) är temperaturen vid tidpunkten \(t\)

- \(T_i\) är den initiala temperaturen

- \(T_r\) är rumstemperaturen

- \(k\) är kylhastighetskonstanten

Genom att ersätta värdena i ekvationen får vi:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

När vi löser \(k\), finner vi att:

$$k \approx 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Hitta tiden att svalna till rumstemperatur

Nu vill vi hitta den tid \(t\) det tar för kycklingen att svalna från \(T_1 =200 ^\circ F\) till rumstemperaturen \(T_r =70^\circ F\).

Vi kan ordna om ekvationen ovan för att lösa \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Pluggar vi in ​​värdena får vi:

$$t =\frac{1}{0.0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \ca 4,6 \text{ minuter}$$

Därför tar det cirka 4,6 minuter för kycklingen att svalna från 200°F till rumstemperatur (70°F) i det givna scenariot.