Когато пилето се извади от температурата на фурната, измерена на 300ff, три минути по-късно 200f, колко време ще отнеме на помещението за охлаждане от 70f?

- Начална температура на пилето:\(T_i =300^\circ F\)

- Крайна стайна температура:\(T_r =70^\circ F\)

- Температура, измерена три минути по-късно:\(T_1 =200^\circ F\)

Предположения

- Предполага се, че пилето се охлажда според закона за охлаждане на Нютон, който гласи, че скоростта на охлаждане на даден обект е право пропорционална на разликата в неговата температура и температурата на околната среда.

Решаване на константата на скоростта на охлаждане (k)

Използвайки дадените данни за три минути, можем да изчислим константата на скоростта на охлаждане \(k\), използвайки уравнението:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

където:

- \(T_1\) е температурата в момента \(t\)

- \(T_i\) е началната температура

- \(T_r\) е стайната температура

- \(k\) е константата на скоростта на охлаждане

Замествайки стойностите в уравнението, получаваме:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Решавайки \(k\), намираме, че:

$$k \приблизително 0,0693 \\text{min}^{-1}$$

Намиране на време за охлаждане до стайна температура

Сега искаме да намерим времето \(t\), което ще отнеме на пилето да се охлади от \(T_1 =200 ^\circ F\) до стайна температура \(T_r =70^\circ F\).

Можем да пренаредим горното уравнение, за да решим \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Вмъквайки стойностите, получаваме:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \приблизително 4,6 \text{ минути}$$

Следователно ще отнеме приблизително 4,6 минути, докато пилето се охлади от 200°F до стайна температура (70°F) в дадения сценарий.