Hvis du sætter en kop varm chokolade på 90 på bordet i værelset 25 ved, at det vil køle af?

For at bestemme, hvor lang tid det vil tage for en kop varm chokolade ved 90°C at køle ned til stuetemperatur (25°C) på et bord i et rum, der holdes ved 25°C, skal vi overveje begrebet varmeoverførsel.

Når den varme chokolade lægges på bordet, vil der ske varmeoverførsel mellem den varme chokolade og det omgivende miljø. Den varme chokolade vil miste varme til den køligere luft og bordoverfladen gennem ledning, konvektion og stråling.

Varmeoverførselshastigheden afhænger af flere faktorer, herunder temperaturforskellen mellem den varme chokolade og miljøet, koppens overfladeareal og de involverede materialers termiske egenskaber.

Hvis vi antager, at koppen er lavet af et materiale som keramik, som har relativt lav varmeledningsevne, og at rumtemperaturen forbliver konstant på 25°C, kan vi bruge Newtons lov om afkøling til at anslå den tid, det vil tage for den varme chokolade at køle af. ned.

Newtons lov om afkøling siger, at afkølingshastigheden af ​​et objekt er proportional med temperaturforskellen mellem objektet og det omgivende miljø. Matematisk kan det udtrykkes som:

dT/dt =-k(T - T_env)

hvor:

dT/dt repræsenterer hastigheden af ​​ændring af temperaturen i forhold til tiden

k er kølekonstanten, som afhænger af faktorer som overfladearealet, termisk ledningsevne og varmeoverførselskoefficienter

T er temperaturen på genstanden (varm chokolade)

T_env er temperaturen i det omgivende miljø (rumtemperatur)

For at løse denne differentialligning kan vi adskille variabler og integrere:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

hvor C er integrationskonstanten.

Ved at bruge den indledende betingelse, at på tidspunktet t =0, er temperaturen på den varme chokolade 90°C, kan vi bestemme værdien af ​​C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Ved at erstatte denne værdi af C tilbage i ligningen får vi:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

For at finde den tid, det tager for den varme chokolade at køle ned til 25°C, kan vi erstatte T =25 og løse for t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ikke defineret)

Da den naturlige logaritme på 0 er udefineret, betyder det, at den varme chokolade aldrig når præcis 25°C. Det vil dog fortsætte med at køle ned og nærme sig stuetemperatur asymptotisk. I praksis, når temperaturforskellen bliver lille, vil afkølingshastigheden også være meget langsom, og den varme chokolade vil til sidst nå en temperatur meget tæt på stuetemperatur.

Som konklusion, mens vi ikke kan bestemme et præcist tidspunkt for den varme chokolade til at køle ned til 25°C ved hjælp af denne forenklede model, kan vi sige, at den konstant vil miste varme og nærme sig stuetemperatur over tid.