Εάν βάλετε ένα φλιτζάνι ζεστή σοκολάτα στα 90 στο τραπέζι στο δωμάτιο που κρατάτε 25, ξέρετε ότι θα κρυώσει;

Για να καθορίσουμε πόσο χρόνο θα χρειαστεί για ένα φλιτζάνι ζεστή σοκολάτα στους 90°C για να κρυώσει σε θερμοκρασία δωματίου (25°C) σε ένα τραπέζι σε ένα δωμάτιο που διατηρείται στους 25°C, πρέπει να εξετάσουμε την έννοια της μεταφοράς θερμότητας.

Όταν η ζεστή σοκολάτα τοποθετηθεί στο τραπέζι, θα γίνει μεταφορά θερμότητας μεταξύ της ζεστής σοκολάτας και του περιβάλλοντος περιβάλλοντος. Η ζεστή σοκολάτα θα χάσει θερμότητα στον ψυχρότερο αέρα και στην επιφάνεια του τραπεζιού μέσω αγωγιμότητας, μεταφοράς και ακτινοβολίας.

Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, συμπεριλαμβανομένης της διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ της ζεστής σοκολάτας και του περιβάλλοντος, της επιφάνειας του φλιτζανιού και των θερμικών ιδιοτήτων των εμπλεκόμενων υλικών.

Υποθέτοντας ότι το κύπελλο είναι κατασκευασμένο από ένα υλικό όπως το κεραμικό, το οποίο έχει σχετικά χαμηλή θερμική αγωγιμότητα και ότι η θερμοκρασία του δωματίου παραμένει σταθερή στους 25°C, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο της ψύξης του Νεύτωνα για να προσεγγίσουμε το χρόνο που θα χρειαστεί για να κρυώσει η ζεστή σοκολάτα. κάτω.

Ο νόμος του Νεύτωνα για την ψύξη δηλώνει ότι ο ρυθμός ψύξης ενός αντικειμένου είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του αντικειμένου και του περιβάλλοντος περιβάλλοντος. Μαθηματικά, μπορεί να εκφραστεί ως:

dT/dt =-k(T - T_env)

όπου:

Το dT/dt αντιπροσωπεύει το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας σε σχέση με το χρόνο

k είναι η σταθερά ψύξης, η οποία εξαρτάται από παράγοντες όπως η επιφάνεια, η θερμική αγωγιμότητα και οι συντελεστές μεταφοράς θερμότητας

T είναι η θερμοκρασία του αντικειμένου (ζεστή σοκολάτα)

T_env είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος περιβάλλοντος (θερμοκρασία δωματίου)

Για να λύσουμε αυτή τη διαφορική εξίσωση, μπορούμε να διαχωρίσουμε μεταβλητές και να ενσωματώσουμε:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.

Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη ότι τη στιγμή t =0, η θερμοκρασία της ζεστής σοκολάτας είναι 90°C, μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή του C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή του C ξανά στην εξίσωση, παίρνουμε:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Για να βρούμε το χρόνο που χρειάζεται για να κρυώσει η ζεστή σοκολάτα στους 25°C, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το T =25 και να λύσουμε το t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (δεν ορίζεται)

Δεδομένου ότι ο φυσικός λογάριθμος του 0 είναι απροσδιόριστος, σημαίνει ότι η ζεστή σοκολάτα δεν θα φτάσει ποτέ ακριβώς τους 25°C. Ωστόσο, θα συνεχίσει να κρυώνει και να προσεγγίζει τη θερμοκρασία δωματίου ασυμπτωτικά. Στην πράξη, μόλις η διαφορά θερμοκρασίας γίνει μικρή, ο ρυθμός ψύξης θα είναι επίσης πολύ αργός και η ζεστή σοκολάτα θα φτάσει τελικά σε θερμοκρασία πολύ κοντά στη θερμοκρασία δωματίου.

Συμπερασματικά, ενώ δεν μπορούμε να καθορίσουμε ακριβή χρόνο για να κρυώσει η ζεστή σοκολάτα στους 25°C χρησιμοποιώντας αυτό το απλοποιημένο μοντέλο, μπορούμε να πούμε ότι θα χάνει συνεχώς θερμότητα και θα πλησιάζει τη θερμοκρασία δωματίου με την πάροδο του χρόνου.