Jos laitat kupin kuumaa kaakaota 90 asteeseen pöydälle 25 asteisessa huoneessa, tiedätkö, että se jäähtyy?

Jotta voimme määrittää, kuinka kauan kestää, että kuppi kuumaa kaakaota 90 °C:ssa jäähtyy huoneenlämpöiseksi (25 °C) pöydällä huoneessa, jonka lämpötila on 25 °C, meidän on otettava huomioon lämmönsiirron käsite.

Kun kuuma suklaa asetetaan pöydälle, lämmönsiirto tapahtuu kuuman suklaan ja ympäröivän ympäristön välillä. Kuuma suklaa menettää lämpöä viileämpään ilmaan ja pöydän pintaan johtumisen, konvektion ja säteilyn kautta.

Lämmönsiirtonopeus riippuu useista tekijöistä, kuten kuuman suklaan ja ympäristön lämpötilaerosta, kupin pinta-alasta ja mukana olevien materiaalien lämpöominaisuuksista.

Olettaen, että kuppi on valmistettu keraamisen kaltaisesta materiaalista, jolla on suhteellisen alhainen lämmönjohtavuus ja että huoneen lämpötila pysyy vakiona 25 °C:ssa, voimme käyttää Newtonin jäähtymislakia arvioimaan aikaa, joka kuluu kuuman suklaan jäähtymiseen. alas.

Newtonin jäähtymislaki sanoo, että esineen jäähtymisnopeus on verrannollinen kohteen ja ympäröivän ympäristön lämpötilaeroon. Matemaattisesti se voidaan ilmaista seuraavasti:

dT/dt =-k(T - T_env)

jossa:

dT/dt edustaa lämpötilan muutosnopeutta ajan suhteen

k on jäähdytysvakio, joka riippuu sellaisista tekijöistä kuin pinta-ala, lämmönjohtavuus ja lämmönsiirtokertoimet

T on kohteen lämpötila (kuuma suklaa)

T_env on ympäröivän ympäristön lämpötila (huoneen lämpötila)

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi voimme erottaa muuttujat ja integroida:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

jossa C on integrointivakio.

Käyttämällä aloitusehtoa, että hetkellä t =0, kuuman suklaan lämpötila on 90°C, voidaan määrittää C:n arvo:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Korvaamalla tämän C:n arvon takaisin yhtälöön, saamme:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Löytääksemme ajan, joka kuluu kuuman suklaan jäähtymiseen 25 °C:seen, voimme korvata T =25 ja ratkaista t:n:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ei määritelty)

Koska 0:n luonnollinen logaritmi on määrittelemätön, se tarkoittaa, että kuuma suklaa ei koskaan saavuta täsmälleen 25 °C. Se kuitenkin jatkaa jäähtymistä ja lähestyy huoneenlämpötilaa asymptoottisesti. Käytännössä lämpötilaeron pienentyessä myös jäähtymisnopeus on hyvin hidas ja kuuma suklaa saavuttaa lopulta hyvin lähellä huoneenlämpöä.

Yhteenvetona, vaikka emme voi määrittää tarkkaa aikaa, jolloin kuuma suklaa jäähtyy 25 °C:seen tällä yksinkertaistetulla mallilla, voimme sanoa, että se menettää jatkuvasti lämpöä ja lähestyy huoneenlämpötilaa ajan myötä.