Ako stavite šalicu vruće čokolade na 90 na stol u prostoriji na 25, znate li da će se ohladiti?

Da bismo odredili koliko će vremena trebati da se šalica vruće čokolade na 90°C ohladi na sobnu temperaturu (25°C) na stolu u prostoriji koja se održava na 25°C, moramo razmotriti koncept prijenosa topline.

Kada se vruća čokolada stavi na stol, doći će do prijenosa topline između vruće čokolade i okoline. Vruća čokolada gubi toplinu prema hladnijem zraku i površini stola putem kondukcije, konvekcije i zračenja.

Brzina prijenosa topline ovisi o nekoliko čimbenika, uključujući temperaturnu razliku između vruće čokolade i okoline, površini čaše i toplinskim svojstvima uključenih materijala.

Pod pretpostavkom da je šalica izrađena od materijala poput keramike, koji ima relativno nisku toplinsku vodljivost, i da sobna temperatura ostaje konstantna na 25°C, možemo upotrijebiti Newtonov zakon hlađenja kako bismo približno odredili vrijeme koje će biti potrebno vrućoj čokoladi da se ohladi dolje.

Newtonov zakon hlađenja kaže da je brzina hlađenja predmeta proporcionalna razlici temperature između objekta i okoline. Matematički se može izraziti kao:

dT/dt =-k(T - T_env)

gdje:

dT/dt predstavlja brzinu promjene temperature u odnosu na vrijeme

k je konstanta hlađenja, koja ovisi o čimbenicima kao što su površina, toplinska vodljivost i koeficijenti prijenosa topline

T je temperatura objekta (vruća čokolada)

T_env je temperatura okoline (sobna temperatura)

Da bismo riješili ovu diferencijalnu jednadžbu, možemo odvojiti varijable i integrirati:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

gdje je C konstanta integracije.

Koristeći početni uvjet da je u trenutku t =0 temperatura vruće čokolade 90°C, možemo odrediti vrijednost C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Zamjenom ove vrijednosti C natrag u jednadžbu, dobivamo:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Da bismo pronašli vrijeme koje je potrebno vrućoj čokoladi da se ohladi na 25°C, možemo zamijeniti T =25 i riješiti t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (nije definirano)

Budući da je prirodni logaritam 0 nedefiniran, to znači da vruća čokolada nikada neće dosegnuti točno 25°C. Međutim, nastavit će se hladiti i asimptotski približavati sobnoj temperaturi. U praksi, nakon što temperaturna razlika postane mala, brzina hlađenja također će biti vrlo spora, a vruća čokolada će na kraju postići temperaturu vrlo blizu sobne temperature.

Zaključno, iako ne možemo odrediti točno vrijeme za vruću čokoladu da se ohladi na 25°C pomoću ovog pojednostavljenog modela, možemo reći da će neprestano gubiti toplinu i s vremenom se približavati sobnoj temperaturi.