Jei 25 laipsnių kambaryje ant stalo padėsite puodelį karšto šokolado 90 laipsnių temperatūroje, žinote, kad jis atvės?

Norint nustatyti, kiek laiko užtruks, kol puodelis karšto šokolado 90°C temperatūroje atvės iki kambario temperatūros (25°C) ant stalo 25°C temperatūroje, turime atsižvelgti į šilumos perdavimo sąvoką.

Padėjus karštą šokoladą ant stalo, įvyks šilumos perdavimas tarp karšto šokolado ir supančios aplinkos. Karštas šokoladas praras šilumą vėsesniam orui ir stalo paviršiui dėl laidumo, konvekcijos ir spinduliavimo.

Šilumos perdavimo greitis priklauso nuo kelių veiksnių, įskaitant karšto šokolado ir aplinkos temperatūrų skirtumą, puodelio paviršiaus plotą ir naudojamų medžiagų šilumines savybes.

Darant prielaidą, kad puodelis pagamintas iš tokios medžiagos kaip keramika, kurios šilumos laidumas yra santykinai mažas, o kambario temperatūra išlieka pastovi 25 °C, galime naudoti Niutono aušinimo dėsnį, kad apytiksliai būtų apskaičiuotas laikas, per kurį karštas šokoladas atvės. žemyn.

Niutono aušinimo dėsnis teigia, kad objekto aušinimo greitis yra proporcingas temperatūrų skirtumui tarp objekto ir jį supančios aplinkos. Matematiškai jis gali būti išreikštas taip:

dT/dt =-k(T - T_env)

kur:

dT/dt reiškia temperatūros kitimo greitį laiko atžvilgiu

k yra aušinimo konstanta, kuri priklauso nuo tokių veiksnių kaip paviršiaus plotas, šilumos laidumas ir šilumos perdavimo koeficientai

T yra objekto temperatūra (karštas šokoladas)

T_env yra supančios aplinkos temperatūra (kambario temperatūra)

Norėdami išspręsti šią diferencialinę lygtį, galime atskirti kintamuosius ir integruoti:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T – T_env =e^(-kt) * C

kur C yra integravimo konstanta.

Naudodami pradinę sąlygą, kad momentu t =0 karšto šokolado temperatūra yra 90°C, galime nustatyti C reikšmę:

T_0 – T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Pakeitę šią C reikšmę atgal į lygtį, gauname:

T – T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Norėdami rasti laiką, per kurį karštas šokoladas atvės iki 25 °C, galime pakeisti T =25 ir išspręsti t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (neapibrėžta)

Kadangi natūralusis 0 logaritmas yra neapibrėžtas, tai reiškia, kad karštas šokoladas niekada nepasieks tiksliai 25°C. Tačiau jis toliau vėsta ir asimptomiškai artėja prie kambario temperatūros. Praktiškai, kai temperatūros skirtumas tampa mažas, aušinimo greitis taip pat bus labai lėtas, o karštas šokoladas ilgainiui pasieks temperatūrą, labai artimą kambario temperatūrai.

Apibendrinant, nors naudojant šį supaprastintą modelį negalime nustatyti tikslaus laiko, kada karštas šokoladas atvės iki 25°C, galime teigti, kad laikui bėgant jis nuolat praras šilumą ir artėja prie kambario temperatūros.