Kiedy kurczak jest wyjmowany z piekarnika, temperatura zmierzona przy 300°F trzy minuty później 200°f ile czasu zajmie ostygnięcie pomieszczenia o temperaturze 70°F?

- Początkowa temperatura kurczaka:\(T_i =300^\circ F\)

- Końcowa temperatura pokojowa:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatura zmierzona trzy minuty później:\(T_1 =200^\circ F\)

Założenia

- Zakłada się, że kurczak ochładza się zgodnie z prawem Newtona, które mówi, że szybkość chłodzenia obiektu jest wprost proporcjonalna do różnicy jego temperatury i temperatury otoczenia.

Wyznaczanie stałej szybkości chłodzenia (k)

Korzystając z podanych danych po trzech minutach, możemy obliczyć stałą szybkości chłodzenia \(k\) za pomocą równania:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Gdzie:

- \(T_1\) to temperatura w chwili \(t\)

- \(T_i\) to temperatura początkowa

- \(T_r\) to temperatura pokojowa

- \(k\) to stała szybkości chłodzenia

Podstawiając wartości do równania, otrzymujemy:

200 $ =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Rozwiązując \(k\), stwierdzamy, że:

$$k \około 0,0693 \\text{min}^{-1}$$

Znalezienie czasu na ochłodzenie do temperatury pokojowej

Teraz chcemy znaleźć czas \(t\), jaki zajmie kurczakowi ostygnięcie z \(T_1 =200 ^\circ F\) do temperatury pokojowej \(T_r =70^\circ F\).

Możemy zmienić powyższe równanie, aby rozwiązać \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Podstawiając wartości otrzymujemy:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \około 4,6 \text{minuty}$$

Dlatego w danym scenariuszu schładzanie kurczaka z temperatury 200°F do temperatury pokojowej (70°F) zajmie około 4,6 minuty.