Quando um frango é retirado do forno, a temperatura medida em 300fftrês minutos depois 200f, quanto tempo levará para o ambiente esfriar de 70f?

Dados fornecidos

- Temperatura inicial do frango:\(T_i =300^\circ F\)
- Temperatura ambiente final:\(T_r =70^\circ F\)

- Temperatura medida três minutos depois:\(T_1 =200^\circ F\)


Suposições

- Supõe-se que o frango esfrie de acordo com a lei de resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é diretamente proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente.

Resolvendo a constante da taxa de resfriamento (k)

Usando os dados fornecidos em três minutos, podemos calcular a constante da taxa de resfriamento \(k\) usando a equação:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Onde:

- \(T_1\) é a temperatura no tempo \(t\)
- \(T_i\) é a temperatura inicial
- \(T_r\) é a temperatura ambiente
- \(k\) é a constante da taxa de resfriamento

Substituindo os valores na equação, obtemos:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Resolvendo para \(k\), descobrimos que:

$$k \aproximadamente 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Encontrando o tempo para esfriar até a temperatura ambiente

Agora queremos encontrar o tempo \(t\) que o frango levará para esfriar de \(T_1 =200 ^\circ F\) até a temperatura ambiente \(T_r =70^\circ F\).

Podemos reorganizar a equação acima para resolver \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Conectando os valores, obtemos:

$$t =\frac{1}{0,0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \aprox 4,6 \text{ minutos}$$

Portanto, levará aproximadamente 4,6 minutos para o frango esfriar de 200°F até a temperatura ambiente (70°F) no cenário determinado.