Когда курицу вынимают из духовки, температура измеряется в 300°F, через три минуты 200°F, сколько времени потребуется, чтобы остыла комната с температурой 70°F?

- Начальная температура курицы:\(T_i =300^\circ F\)

- Конечная комнатная температура:\(T_r =70^\circ F\)

- Температура измерена через три минуты:\(T_1 =200^\circ F\)

Предположения

- Предполагается, что курица охлаждается в соответствии с законом охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость охлаждения объекта прямо пропорциональна разнице его температуры и температуры окружающей среды.

Нахождение константы скорости охлаждения (k)

Используя данные за три минуты, мы можем рассчитать константу скорости охлаждения \(k\) по уравнению:

$$T_1 =T_i + (T_i-T_r)(e^{-kt})$$

Где:

- \(T_1\) — температура в момент времени \(t\)

- \(T_i\) — начальная температура

- \(T_r\) — комнатная температура

- \(k\) — константа скорости охлаждения

Подставив значения в уравнение, получим:

$$200 =300+ (300-70)(e^{-3k})$$

Решая \(k\), находим, что:

$$k \около 0,0693 \ \text{min}^{-1}$$

Найти время, чтобы остыть до комнатной температуры

Теперь мы хотим найти время \(t\), которое потребуется курице для охлаждения от \(T_1 =200 ^\circ F\) до комнатной температуры \(T_r =70^\circ F\).

Мы можем изменить приведенное выше уравнение, чтобы найти \(t\):

$$t =\frac{1}{k} \ln \left(\frac{T_i-T_r}{T_1-T_r}\right)$$

Подставив значения, получим:

$$t =\frac{1}{0.0693} \ln \left(\frac{300-70}{200-70}\right) \около 4,6 \text{ минут}$$

Следовательно, в данном сценарии цыпленку потребуется примерно 4,6 минуты, чтобы остыть от 200°F до комнатной температуры (70°F).