Ak položíte šálku horúcej čokolády na 90°C na stôl v miestnosti s 25°C, viete, že vychladne?

Aby sme určili, ako dlho bude trvať, kým šálka horkej čokolády pri 90 °C vychladne na izbovú teplotu (25 °C) na stole v miestnosti udržiavanej na 25 °C, musíme zvážiť koncepciu prenosu tepla.

Keď sa horúca čokoláda položí na stôl, dôjde k prenosu tepla medzi horúcou čokoládou a okolitým prostredím. Horúca čokoláda stratí teplo do chladnejšieho vzduchu a povrchu stola vedením, prúdením a žiarením.

Rýchlosť prenosu tepla závisí od viacerých faktorov, vrátane teplotného rozdielu medzi horúcou čokoládou a prostredím, povrchovej plochy pohára a tepelných vlastností použitých materiálov.

Za predpokladu, že pohár je vyrobený z materiálu, ako je keramika, ktorá má relatívne nízku tepelnú vodivosť a že teplota v miestnosti zostáva konštantná na 25 °C, môžeme použiť Newtonov zákon ochladzovania na približnú dobu, ktorú bude trvať, kým horká čokoláda vychladne. dole.

Newtonov zákon chladenia hovorí, že rýchlosť ochladzovania objektu je úmerná teplotnému rozdielu medzi objektom a okolitým prostredím. Matematicky sa to dá vyjadriť takto:

dT/dt =-k(T - T_env)

kde:

dT/dt predstavuje rýchlosť zmeny teploty vzhľadom na čas

k je konštanta chladenia, ktorá závisí od faktorov, ako je plocha povrchu, tepelná vodivosť a koeficienty prestupu tepla

T je teplota objektu (horká čokoláda)

T_env je teplota okolitého prostredia (izbová teplota)

Na vyriešenie tejto diferenciálnej rovnice môžeme oddeliť premenné a integrovať:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

kde C je integračná konštanta.

Pomocou počiatočnej podmienky, že v čase t =0 je teplota horkej čokolády 90°C, môžeme určiť hodnotu C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Nahradením tejto hodnoty C späť do rovnice dostaneme:

T – T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Aby sme zistili čas potrebný na vychladnutie horúcej čokolády na 25 °C, môžeme nahradiť T =25 a vyriešiť t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (nedefinované)

Keďže prirodzený logaritmus 0 nie je definovaný, znamená to, že horúca čokoláda nikdy nedosiahne presne 25 °C. Naďalej sa však bude ochladzovať a asymptoticky sa blíži k izbovej teplote. V praxi, akonáhle sa teplotný rozdiel stane malým, rýchlosť chladenia bude tiež veľmi pomalá a horká čokoláda nakoniec dosiahne teplotu veľmi blízku teplote miestnosti.

Na záver, hoci pomocou tohto zjednodušeného modelu nevieme určiť presný čas, kedy horká čokoláda vychladne na 25 °C, môžeme povedať, že bude neustále strácať teplo a časom sa blíži izbovej teplote.