Če daš skodelico vroče čokolade pri 90 na mizo v sobi, kjer je temperatura 25, veš, da se bo ohladila?

Da bi ugotovili, koliko časa bo trajalo, da se skodelica vroče čokolade pri 90 °C ohladi na sobno temperaturo (25 °C) na mizi v prostoru, kjer je temperatura 25 °C, moramo upoštevati koncept prenosa toplote.

Ko vročo čokolado postavimo na mizo, pride do prenosa toplote med vročo čokolado in okolico. Vroča čokolada bo s prevajanjem, konvekcijo in sevanjem izgubila toploto proti hladnejšemu zraku in površini mize.

Hitrost prenosa toplote je odvisna od več dejavnikov, vključno s temperaturno razliko med vročo čokolado in okoljem, površino skodelice in toplotnimi lastnostmi vključenih materialov.

Ob predpostavki, da je skodelica narejena iz materiala, kot je keramika, ki ima razmeroma nizko toplotno prevodnost, in da sobna temperatura ostaja konstantna pri 25 °C, lahko uporabimo Newtonov zakon ohlajanja, da približno določimo čas, ki bo potreben, da se vroča čokolada ohladi. navzdol.

Newtonov zakon ohlajanja pravi, da je hitrost ohlajanja predmeta sorazmerna temperaturni razliki med predmetom in okolico. Matematično se lahko izrazi kot:

dT/dt =-k(T - T_env)

kjer:

dT/dt predstavlja hitrost spremembe temperature glede na čas

k je hladilna konstanta, ki je odvisna od dejavnikov, kot so površina, toplotna prevodnost in koeficienti prenosa toplote

T je temperatura predmeta (vroča čokolada)

T_env je temperatura okolja (sobna temperatura)

Za rešitev te diferencialne enačbe lahko ločimo spremenljivke in integriramo:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

kjer je C integracijska konstanta.

Z začetnim pogojem, da je v času t =0 temperatura vroče čokolade 90 °C, lahko določimo vrednost C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Če nadomestimo to vrednost C nazaj v enačbo, dobimo:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

Če želite najti čas, ki je potreben, da se vroča čokolada ohladi na 25 °C, lahko nadomestimo T =25 in rešimo t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ni definirano)

Ker je naravni logaritem 0 nedefiniran, to pomeni, da vroča čokolada nikoli ne bo dosegla natančno 25 °C. Vendar se bo še naprej ohlajal in asimptotično približeval sobni temperaturi. V praksi, ko temperaturna razlika postane majhna, bo tudi hitrost ohlajanja zelo počasna in vroča čokolada bo sčasoma dosegla temperaturo zelo blizu sobni temperaturi.

Skratka, čeprav s tem poenostavljenim modelom ne moremo določiti natančnega časa, ko se vroča čokolada ohladi na 25 °C, lahko rečemo, da bo nenehno izgubljala toploto in se sčasoma približala sobni temperaturi.