Om du sätter en kopp varm choklad vid 90 på bordet i rummet hålls 25 vet du att det kommer att svalna?

För att avgöra hur lång tid det tar för en kopp varm choklad vid 90°C att svalna till rumstemperatur (25°C) på ett bord i ett rum som hålls vid 25°C, måste vi överväga konceptet värmeöverföring.

När den varma chokladen ställs på bordet sker värmeöverföring mellan den varma chokladen och den omgivande miljön. Den varma chokladen kommer att förlora värme till den kallare luften och bordsytan genom ledning, konvektion och strålning.

Värmeöverföringshastigheten beror på flera faktorer, inklusive temperaturskillnaden mellan den varma chokladen och miljön, koppens yta och de inblandade materialens termiska egenskaper.

Om vi ​​antar att koppen är gjord av ett material som keramik, som har relativt låg värmeledningsförmåga, och att rumstemperaturen förblir konstant vid 25°C, kan vi använda Newtons kyllag för att uppskatta hur lång tid det tar för den varma chokladen att svalna ner.

Newtons kyllag säger att nedkylningshastigheten för ett föremål är proportionell mot temperaturskillnaden mellan föremålet och den omgivande miljön. Matematiskt kan det uttryckas som:

dT/dt =-k(T - T_env)

där:

dT/dt representerar hastigheten för temperaturförändring med avseende på tiden

k är kylkonstanten, som beror på faktorer som ytarea, värmeledningsförmåga och värmeöverföringskoefficienter

T är temperaturen på föremålet (varm choklad)

T_env är temperaturen i den omgivande miljön (rumstemperatur)

För att lösa denna differentialekvation kan vi separera variabler och integrera:

dT/(T - T_env) =-k dt

ln(T - T_env) =-kt + C

T - T_env =e^(-kt) * C

där C är integrationskonstanten.

Med hjälp av det initiala villkoret att vid tidpunkten t =0 är temperaturen på den varma chokladen 90°C, kan vi bestämma värdet på C:

T_0 - T_env =e^(0) * C

C =T_0 - T_env =90 - 25 =65

Genom att ersätta detta värde på C tillbaka i ekvationen får vi:

T - T_env =65 * e^(-kt)

T =T_env + 65 * e^(-kt)

För att ta reda på hur lång tid det tar för den varma chokladen att svalna till 25°C kan vi ersätta T =25 och lösa t:

25 =25 + 65 * e^(-kt)

0 =65 * e^(-kt)

-kt =ln(0) (ej definierad)

Eftersom den naturliga logaritmen för 0 är odefinierad betyder det att den varma chokladen aldrig kommer att nå exakt 25°C. Det kommer dock att fortsätta att svalna och närma sig rumstemperatur asymptotiskt. I praktiken, när temperaturskillnaden blir liten, kommer kylningshastigheten också att vara mycket långsam, och den varma chokladen kommer så småningom att nå en temperatur mycket nära rumstemperatur.

Sammanfattningsvis, även om vi inte kan bestämma en exakt tid för den varma chokladen att svalna till 25°C med denna förenklade modell, kan vi säga att den kontinuerligt kommer att förlora värme och närma sig rumstemperatur över tiden.